BBO 基准测试函数

在这个开源 Python 模块中，我们提供了一套在黑盒优化（BBO）/零阶优化/无梯度优化/无导数优化/全局优化/直接搜索/随机优化/元启发式算法/进化算法/群体智能社区中常用的**基准/测试函数**。

注意

在未来，我们计划添加一些来自各种**现实世界应用**的**具有挑战性**的 BBO 模型。由于这是一个*长期*开发项目，欢迎任何人为此做出任何开源贡献。

对于一套包含 23 个基准/测试函数，它们的**基本**形式、**平移/变换**形式、**旋转**形式以及**旋转-平移**形式都已编码并经过*充分测试*。通常，在 BBO 的**比较实验**中应使用它们的**旋转-平移**形式，以避免可能对某些搜索点（例如原点）或可分离性产生偏见。

编码正确性检查

关于所有基准测试函数的测试代码，请参阅以下公开链接获取详细信息（事实上，我们花费了大量时间来检查 Python 编码的正确性）：

• 基本形式

• 平移/变换形式

• 旋转形式

• 旋转-平移形式

基本函数

这里我们介绍一些在优化文献中常见的基准测试函数的**基本**形式，如下所示：

• 其 2D 景观图生成脚本：https://github.com/Evolutionary-Intelligence/pypop/blob/main/tutorials/plotting/landscape/plot_landscape_for_sphere.py

• 其 3D 曲面图生成脚本：https://github.com/Evolutionary-Intelligence/pypop/blob/main/tutorials/plotting/surface/plot_surface_for_sphere.py

参考文献（部分）

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

• Zhou, Q. and Li, Y., 2003. Directed variation in evolution strategies. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 7(4), pp.356-366.

pypop7.benchmarks.base_functions.cigar(x)

**Cigar** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• 其 2D 景观图生成脚本：https://github.com/Evolutionary-Intelligence/pypop/blob/main/tutorials/plotting/landscape/plot_landscape_for_cigar.py

• 其 3D 曲面图生成脚本：https://github.com/Evolutionary-Intelligence/pypop/blob/main/tutorials/plotting/surface/plot_surface_for_cigar.py

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.discus(x)

**Discus**（也称为 **Tablet**）测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.cigar_discus(x)

**Cigar-Discus** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.ellipsoid(x)

**Ellipsoid** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.different_powers(x)

**Different-Powers** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.schwefel221(x)

**Schwefel221** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.step(x)

**Step** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.schwefel222(x)

**Schwefel222** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.rosenbrock(x)

**Rosenbrock** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Loshchilov, I., Glasmachers, T. and Beyer, H.G., 2018. Large scale black-box optimization by limited-memory matrix adaptation. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 23(2), pp.353-358.

• Beyer, H.G. and Sendhoff, B., 2017. Simplify your covariance matrix adaptation evolution strategy. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 21(5), pp.746-759.

• Jastrebski, G.A. and Arnold, D.V., 2006, July. Improving evolution strategies through active covariance matrix adaptation. In IEEE International Conference on Evolutionary Computation (pp. 2814-2821). IEEE.

pypop7.benchmarks.base_functions.schwefel12(x)

**Schwefel12** 测试函数。

注意

其维度应 > 1。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.exponential(x)

**Exponential** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.griewank(x)

**Griewank** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.ackley(x)

**Ackley** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Bungert, L., Roith, T. and Wacker, P., 2024. Polarized consensus-based dynamics for optimization and sampling. Mathematical Programming, pp.1-31.

• Carrillo, J.A., Choi, Y.P., Totzeck, C. and Tse, O., 2018. An analytical framework for consensus-based global optimization method. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 28(06), pp.1037-1066.

pypop7.benchmarks.base_functions.rastrigin(x)

**Rastrigin** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

• Bungert, L., Roith, T. and Wacker, P., 2024. Polarized consensus-based dynamics for optimization and sampling. Mathematical Programming, pp.1-31.

pypop7.benchmarks.base_functions.scaled_rastrigin(x)

**Scaled-Rastrigin** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.skew_rastrigin(x)

**Skew-Rastrigin** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.levy_montalvo(x)

**Levy-Montalvo** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.michalewicz(x)

**Michalewicz** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.salomon(x)

**Salomon** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.shubert(x)

**Shubert** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.base_functions.schaffer(x)

**Schaffer** 测试函数。

参数:

x (ndarray) – 输入向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

平移/变换形式

接下来，我们将介绍上述基本函数的**平移/变换**形式，如下所示：

pypop7.benchmarks.shifted_functions.generate_shift_vector(func, ndim, low, high, seed=None)

生成一个维度为 ndim 的*随机*平移向量，在 low（包含）和 high（不包含）之间均匀采样。

在 low（包含）和 high（不包含）之间。

注意

生成的平移向量将自动以 *txt* 形式存储，**以供后续使用**。

参数:

• func (str or func) – 函数名。

• ndim (int) – 平移向量的维度数。

• low (float or array_like) – 平移向量的下界。

• high (float or array_like) – 平移向量的上界。

• seed (int) – 用于随机数生成器 (RNG) 的标量种子。

返回:

shift_vector – 在 [low, high) 范围内均匀采样的大小为 ndim 的平移向量。

返回类型:

ndarray (数据类型为 np.float64)

pypop7.benchmarks.shifted_functions.load_shift_vector(func, x, shift_vector=None)

加载需要*预先*生成的平移向量。

注意

当为 None 时，平移向量应已通过 generate_shift_vector() **预先**生成并以 *txt* 格式存储。

参数:

• func (func) – 函数名。

• x (array_like) – 决策向量（也称为输入向量）。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

返回:

shift_vector – 与 x 大小相同的平移向量。

返回类型:

ndarray (数据类型为 np.float64)

pypop7.benchmarks.shifted_functions.sphere(x, shift_vector=None)

**Sphere** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.cigar(x, shift_vector=None)

**Cigar** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.discus(x, shift_vector=None)

**Discus**（也称为 **Tablet**）测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.cigar_discus(x, shift_vector=None)

**Cigar-Discus** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.ellipsoid(x, shift_vector=None)

**Ellipsoid** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.different_powers(x, shift_vector=None)

**Different-Powers** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.schwefel221(x, shift_vector=None)

**Schwefel221** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.step(x, shift_vector=None)

**Step** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.schwefel222(x, shift_vector=None)

**Schwefel222** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.rosenbrock(x, shift_vector=None)

**Rosenbrock** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.schwefel12(x, shift_vector=None)

**Schwefel12** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.exponential(x, shift_vector=None)

**Exponential** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.griewank(x, shift_vector=None)

**Griewank** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.bohachevsky(x, shift_vector=None)

**Bohachevsky** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.ackley(x, shift_vector=None)

**Ackley** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.rastrigin(x, shift_vector=None)

**Rastrigin** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.scaled_rastrigin(x, shift_vector=None)

**Scaled-Rastrigin** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.skew_rastrigin(x, shift_vector=None)

**Skew-Rastrigin** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.levy_montalvo(x, shift_vector=None)

**Levy-Montalvo** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.michalewicz(x, shift_vector=None)

**Michalewicz** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.salomon(x, shift_vector=None)

**Salomon** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.shubert(x, shift_vector=None)

**Shubert** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.shifted_functions.schaffer(x, shift_vector=None)

**Schaffer** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 shift_vector 为 None，请预先使用函数 generate_shift_vector() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (ndarray) – 与 x 大小相同的向量。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

旋转形式

接下来，我们将介绍上述基本函数的**旋转**形式，如下所示：

pypop7.benchmarks.rotated_functions.generate_rotation_matrix(func, ndim, seed)

生成一个维度为 [ndim * ndim] 的*随机*旋转矩阵，通过正态分布采样。

注意

生成的旋转矩阵将自动以 *txt* 格式存储，**以供后续使用**。

参数:

• func (str or func) – 函数名。

• ndim (int) – 旋转矩阵的维度数。

• seed (int) – 用于随机数生成器 (RNG) 的标量种子。

返回:

rotation_matrix – 大小为 [ndim * ndim] 的旋转矩阵。

返回类型:

ndarray

pypop7.benchmarks.rotated_functions.load_rotation_matrix(func, x, rotation_matrix=None)

加载需要预先生成的旋转矩阵。

注意

当为 None 时，旋转矩阵应已**预先**生成并以 *txt* 格式存储。

参数:

• func (str or func) – 函数名。

• x (array_like) – 决策向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

rotation_matrix – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回类型:

ndarray

pypop7.benchmarks.rotated_functions.sphere(x, rotation_matrix=None)

**Sphere** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $sum_{i=1}^{n}x_i^2$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.cigar(x, rotation_matrix=None)

**Cigar** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.discus(x, rotation_matrix=None)

**Discus/Tablet** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.cigar_discus(x, rotation_matrix=None)

**Cigar-Discus** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.ellipsoid(x, rotation_matrix=None)

**Ellipsoid** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.different_powers(x, rotation_matrix=None)

**Different-Powers** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.schwefel221(x, rotation_matrix=None)

**Schwefel221** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.step(x, rotation_matrix=None)

**Step** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.schwefel222(x, rotation_matrix=None)

**Schwefel222** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.rosenbrock(x, rotation_matrix=None)

**Rosenbrock** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.schwefel12(x, rotation_matrix=None)

**Schwefel12** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.exponential(x, rotation_matrix=None)

**Exponential** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.griewank(x, rotation_matrix=None)

**Griewank** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.bohachevsky(x, rotation_matrix=None)

**Bohachevsky** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.ackley(x, rotation_matrix=None)

**Ackley** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.rastrigin(x, rotation_matrix=None)

**Rastrigin** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.scaled_rastrigin(x, rotation_matrix=None)

**Scaled-Rastrigin** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.levy_montalvo(x, rotation_matrix=None)

**Levy-Montalvo** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.michalewicz(x, rotation_matrix=None)

**Michalewicz** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.salomon(x, rotation_matrix=None)

**Salomon** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.shubert(x, rotation_matrix=None)

**Shubert** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.rotated_functions.schaffer(x, rotation_matrix=None)

**Schaffer** 测试函数。

注意

其 LaTeX 公式为 $$。如果其参数 rotation_matrix 为 None，请预先使用函数 generate_rotation_matrix() 生成它（以 *txt* 格式存储）。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 一个在每个维度上都与 x 大小相同的矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

旋转-平移形式

接下来，我们将介绍上述基本函数的**旋转-平移**形式，如下所示：

pypop7.benchmarks.continuous_functions.load_shift_and_rotation(func, x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

加载需要**预先**生成的平移向量和旋转矩阵。

注意

当为 None 时，平移向量应已**预先**生成并以 *txt* 格式存储。当为 None 时，旋转矩阵应已**预先**生成并以 *txt* 格式存储。

参数:

• func (str or func) – 函数名。

• x (array_like) – 决策向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

• shift_vector (ndarray (数据类型为 np.float64)) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

pypop7.benchmarks.continuous_functions.sphere(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Sphere** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.cigar(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Cigar** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.discus(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Discus** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.cigar_discus(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Cigar-Discus** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.ellipsoid(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Ellipsoid** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.different_powers(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Different-Power** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.schwefel221(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Schwefel221** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.step(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Step** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.schwefel222(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Schwefel222** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.rosenbrock(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Rosenbrock** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.schwefel12(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Schwefel12** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.exponential(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Exponential** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.griewank(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Griewank** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.bohachevsky(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Bohachevsky** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.ackley(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Ackley** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.rastrigin(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Rastrigin** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.scaled_rastrigin(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Scaled-Rastrigin** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.skew_rastrigin(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Skew-Rastrigin** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.levy_montalvo(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Levy-Montalvo** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.michalewicz(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Michalewicz** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.salomon(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Salomon** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.shubert(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Shubert** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

pypop7.benchmarks.continuous_functions.schaffer(x, shift_vector=None, rotation_matrix=None)

**Schaffer** 测试函数。

参数:

• x (ndarray) – 输入向量。

• shift_vector (array_like) – 与 x 大小相同的平移向量。

• rotation_matrix (ndarray) – 大小为 [len(x) * len(x)] 的旋转矩阵。

返回:

y – 标量适应度值。

返回类型:

float

大规模黑盒优化 (LBO) 基准测试

这里我们为大规模黑盒优化 (LBO) 提供了两种不同的基准测试案例（局部搜索与全局搜索）。

来自数据科学的黑盒分类

这里我们提供了一系列来自数据科学黑盒分类的测试函数。

基于 NeverGrad 的光子学模型基准测试

有关光子学模型的介绍，请参阅 NeverGrad。

基于 Gymnasium 的控制器基准测试

有关介绍，请参阅 Gymnasium（来自 Farama Foundation）。

来自 PyGMO 的 Lennard-Jones 团簇优化

有关这个来自 PyGMO 的 444 维 Lennard-Jones 团簇优化问题的介绍，请参阅 pagmo2（来自欧洲空间局）。

测试类和数据

下面，我们将为基准测试函数提供一组测试类和测试数据。由于这些类和数据仅用于测试目的，最终用户可以安全地跳过本节。

class pypop7.benchmarks.cases.Cases(is_shifted=False, is_rotated=False)

通过抽样测试基准函数的正确性（测试用例）。

check_origin(func, n_samples=7)

通过随机抽样检查函数值为零的原点（测试用例）。

参数:

• func – 基准函数, func。

• n_samples – 样本数量, int。

返回:

如果所有在测试用例上计算的函数值均为零，则为 True，否则为 False；bool。

compare(func, ndim, y_true, shift_vector=None, rotation_matrix=None, atol=0.001)

将真实函数值与所用基准函数返回的值进行比较。

参数:

• func – 基准函数, func。

• ndim – 维度数量（仅在 [1, 7] 范围内），int。

• y_true – ndarray，其中每个元素是相应测试用例的真实函数值。

• shift_vector – 平移向量, ndarray。

• rotation_matrix – 旋转矩阵, ndarray。

• atol – 绝对容差参数, float。

返回:

如果在测试用例上计算的所有函数值都与 y_true 匹配，则为 True；否则为 False。

make_test_cases(ndim=None)

为特定维度（仅在 [1, 7] 范围内）创建多个测试用例。

注意

不同维度上的测试用例数量可能不同。

参数:

ndim – 维度数量（仅在 [1, 7] 范围内），int。

返回:

类型为 np.float64 的 ndarray，其中每一行是一个测试用例。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_sphere(ndim)

获取 Sphere 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_cigar(ndim)

获取 Cigar 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_discus(ndim)

获取 Discus 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_cigar_discus(ndim)

获取 Cigar-Discus 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_ellipsoid(ndim)

获取 Ellipsoid 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_different_powers(ndim)

获取 Different-Powers 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_schwefel221(ndim)

获取 Schwefel221 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_step(ndim)

获取 Step 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_schwefel222(ndim)

获取 Schwefel222 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_rosenbrock(ndim)

获取 Rosenbrock 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_schwefel12(ndim)

获取 Schwefel12 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_exponential()

获取 Exponential 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_griewank(ndim)

获取 Griewank 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_bohachevsky(ndim)

获取 Bohachevsky 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_ackley(ndim)

获取 Ackley 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_rastrigin(ndim)

获取 Rastrigin 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_scaled_rastrigin(ndim)

获取 Scaled-Rastrigin 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_skew_rastrigin(ndim)

获取 Skew-Rastrigin 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_levy_montalvo()

获取 LevyMontalvo 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_michalewicz()

获取 Michalewicz 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_salomon()

获取 Salomon 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_shubert()

获取 Schaffer 测试函数的测试数据。

pypop7.benchmarks.cases.get_y_schaffer(ndim)

获取 Schaffer 测试函数的测试数据。